|
Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет | |
Механические свойства кристаллических решеток и нанокристаллов
Развитие высоких технологий, использующих наноразмерные структуры, приводит к необходимости исследования механических свойств объектов наноразмерного масштабного уровня. Большинство механических моделей тонкостенных нанообъектов, таких как углеродные нанотрубки, основано на уравнениях теории оболочек. В связи с этим возникает вопрос о возможности использования в расчетах значений упругих модулей, полученных из макроскопических экспериментов, или же необходимости их корректировки с учетом влияния масштабного фактора. Ниже излагаются результаты теоретического исследования взаимосвязи микроскопических и макроскопических характеристик нанокристаллов и кристаллических решеток. Предлагаются устойчивые модели однослойных наноструктур и неплотноупакованных кристаллических решеток. Отличительной особенностью предлагаемых моделей является то, что они основаны на парных моментных потенциалах взаимодействия.
Влияние масштабного фактора на изгибную жесткость нанообъектов
 |
Многими исследователями отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микро- и макроэкспериментов. В связи с этим возникает вопрос о необходимости корректировки значений упругих модулей, полученных из макроскопических экспериментов, с учетом влияния масштабного фактора. Результат теоретического исследования влияния масштабного фактора на изгибную жесткость двумерного нанокристалла (см. рисунок) представлен на графике, где показана зависимость безразмерного параметра k, представляющего собой отношение изгибной жесткости нанокристалла к макроскопическому значению изгибной жесткости, от числа атомных слоев N в направлении толщины нанокристалла.
|
Определение изгибной жесткости однослойных нанообъектов
 |
Существование однослойных нанотрубок, не нагруженных внутренним давлением, свидетельствует о необходимости учета моментного взаимодействия между атомами. В противном случае, слой атомов, формирующий нанотрубку, не имел бы изгибной жесткости, а стало быть, однослойная нанотрубка была бы неустойчива. Ситуация здесь та же, что и в континуальной макромеханике. В основе таких популярных в инженерных расчетах континуальных моделей, как стержни и оболочки, лежит идея учета вращательных степеней свободы и моментных взаимодействий. Игнорирование моментных взаимодействий приводит к тому, что модель стержня вырождается в модель нити, а модель оболочки - в модель мембраны. Нити и мембраны не обладают изгибной жесткостью. Они способны сохранять свою форму только за счет внешних нагрузок, граничных условий и жесткости на растяжение. На примере дискретной модели монокристалла (см. рисунок) разработана методика определения изгибной жесткости наноразмерных структур с учетом моментного взаимодействия на наноуровне. Считается, что кристалл состоит из частиц, взаимодействие которых зависит не только от их взаимного расположения в пространстве, но и от их взаимной ориентации. Взаимодействие между частицами характеризуется вектором силы и вектором момента. Получена поправка к выражению для изгибной жесткости нанокристалла, связанная с учетом моментного взаимодействия и не обращающаяся в ноль для однослойной наноструктуры. Следует отметить, что для двухслойной наноструктуры влияние моментных взаимодействий уже не слишком существенно, а для трехслойной - практически незаметно. |
Построение устойчивых моделей неплотноупакованных решеток
Парные потенциалы взаимодействия, такие, как потенциал Леннарда-Джонса, Ми или Морзе, широко применяются для моделирования молекулярных систем. Они имеют ясный физический смысл, и, несмотря на свою простоту, позволяют на качественном уровне описать свойства многих веществ. Однако, хорошо известно, что они имеют принципиальные недостатки, не позволяющие использовать их более широко. Одним из важнейших недостатков является то, что парные потенциалы, как правило, могут обеспечить устойчивость только плотноупакованных кристаллических решеток. В двумерном случае это треугольная решетка, в трехмерном - гранецентрированная кубическая или какая-либо аналогичная ей решетка. Решетки с более низкой плотностью упаковки, такие как простая кубическая решетка, оказываются неустойчивыми и в двумерном и в трехмерном случае для большинства парных потенциалов. Причина этого состоит в том, что расстояние между вторыми соседями (по диагоналям куба) оказывается на неустойчивом участке диаграммы сила-расстояние. Иными словами, при увеличении расстояния возникает не возвращающая, а дестабилизирующая сила. Это приводит к тому, что, например, деформирование квадратной ячейки в ромбическую оказывается энергетически выгодным. Также неустойчивой оказываются структуры, характерные для ковалентных кристаллов - шестиугольная решетка на плоскости (структура графита) и структура алмаза в пространстве. Традиционное решение этой проблемы состоит в применении многочастичных потенциалов взаимодействия. Подобные потенциалы зависят от углов между связями, что позволяет сделать устойчивыми структуры с низкой плотностью заполнения. Однако, форма подобных потенциалов оказывается весьма сложной, а физический смысл входящих в них констант - туманным. Константы вычисляются из соответствия физическим свойствам моделируемых веществ, однако, при переходе от одной кристаллической структуры к другой (скажем, графит-алмаз) приходится полностью менять потенциал взаимодействия.
Альтернативный подход состоит в учете моментного вклада в межатомное взаимодействие. Известно, что ковалентные связи являются направленными, что свидетельствует о возможности передачи ими моментных взаимодействий. Необходимость учета моментного взаимодействия давно подтверждена для описания полимеров, где без учета торсионного взаимодействия (взаимодействия, отвечающего повороту вокруг направления связи) невозможно адекватно описать структурные свойства полимерных молекул. Моментное взаимодействие имеет ясный физический смысл, что делает его предпочтительнее, чем многочастичное взаимодействие. На примере квадратной решетки в плоскости (см. рисунок) показано, что учет парного моментного взаимодействия (дополнительно к парному силовому) обеспечивает устойчивость кристаллических структур с низкой плотностью упаковки. Область устойчивости квадратной решетки представлена на графике.
Квадратная решетка:a) окрестность выделенной частицы, b) вариант внутренней структуры частицы. |
|
При учете моментного взаимодействия частицы, моделирующие атомы, уже нельзя рассматривать как материальные точки. Эти частицы, как минимум, должны представлять собой совокупность жестко связанных между собой материальных точек. Конкретные реализации моделей частиц могут быть весьма разнообразны. Единственным необходимым требованием является соответствие симметрии частицы и решетки. Критерием выбора той или иной модели может быть, с одной стороны, ее простота, а с другой стороны то, насколько она отражает строение атома. В данном исследовании предпочтение отдано простоте модели. Частицы, формирующие квадратную решетку, моделируются совокупностью четырех жестко связанных между собой материальных точек, расположенных в углах квадрата. Считается, что каждая материальная точка одной частицы взаимодействует с каждой материальной точкой другой частицы с помощью парного силового взаимодействия. При этом, суммарное взаимодействие между частицами уже содержит и силовую, и моментную составляющие. Отметим, что при подобном подходе число параметров в модели оказывается очень небольшим - это параметры парного силового взаимодействия и параметры, описывающие геометрию группы жестко связанных материальных точек. Подобная модель, разумеется, не претендует на описание строения атома. Она может рассматриваться как модель атома только с макроскопической точки зрения, когда ставится задача построения механической модели деформируемого твердого тела, содержащего достаточно большое число атомов. При попытке учесть внутреннюю структуру атома, можно было бы модернизировать исходную модель следующим образом: в центре квадрата поместить материальную точку, моделирующую ядро, а материальные точки, находящиеся в углах квадрата, рассматривать как электроны. При такой интерпретации, логичным является предположение, что потенциалы взаимодействия ядро - ядро, ядро - электрон и электрон - электрон должны быть различными. В результате получается модель, содержащая большое число параметров. Подобная модель уже не обладает достоинством простоты, и вместе с тем, трудно оценить ее адекватность, поскольку, варьируя большим числом параметров всегда можно добиться достаточно хорошего совпадения с экспериментальными данными. Альтернативный подход заключается в использовании в качестве модели атома частицы общего вида, обладающей вращательными степенями свободы, без конкретизации ее структуры как совокупности материальных точек. Такая частица называется телом-точкой; ее положение в пространстве задается вектором положения и тензором поворота, а движение описывается двумя независимыми законами: уравнением баланса количества движения и уравнением баланса кинетического момента. Впервые понятие тела-точки ввел в рассмотрение П.А.Жилин. Преимущество подхода, основанного на моделировании атомов частицами общего вида, обусловлено тем, что не возникает необходимости делать попытку учесть строение атома. Параметры, характеризующие взаимодействие частиц общего вида, полностью определяются структурой тех решеток, которые они могут формировать. Реализация данного подхода требует создания потенциалов взаимодействия, зависящих не только от взаимного расположения частиц, но и от их взаимной ориентации. В линейной постановке задачи этот подход полностью реализован. Нелинейная постановка задачи требует дальнейшего исследования.
Связь между механическими характеристиками сложных кристаллических решеток на макро- и микроуровне
Предложена механическая модель сложной кристаллической решетки, атомы которой отождествляются с частицами общего вида, обладающими как поступательными, так и вращательными степенями свободы, и взаимодействующими между собой посредством сил и моментов. В рамках линейной теории характеристиками межатомных связей являются тензоры жесткости второго ранга, структура которых определяется геометрией решетки, а упругие модули должны находиться экспериментально. Упругие свойства решетки на макроуровне характеризуются тензорами жесткости четвертого ранга. Макроскопические тензоры жесткости зависят от тензоров жесткости межатомных связей и геометрии решетки. В результате исследования установлено:
Первое. Макроскопические модули упругости безмоментной теории зависят как от силовых, так и от моментных характеристик межатомного взаимодействия. Эта зависимость позволяет по модулям упругости безмоментной макроскопической теории определить микроскопические характеристики межатомных связей - продольную и поперечную жесткости межатомной связи. Подчеркнем, что поперечная жесткость межатомной связи отлична от нуля только при наличии моментного взаимодействия на межатомном уровне. В свою очередь, характеристики жесткостей межатомных связей позволяют определить параметры парных моментных потенциалов взаимодействия. Последние могут использоваться в качестве альтернативы многочастичных потенциалов в задачах компьютерного моделирования термомеханических процессов методами молекулярной динамики.
Второе. В слое графита поперечная жесткость межатомной связи составляет 55% от продольной. Данный результат показывает, что ковалентная связь является существенно нецентральной, что возможно только при наличии моментных взаимодействий на микроуровне.
Для просмотра PDF файлов можно загрузить бесплатную версию Adobe Acrobat Reader.
Инструкция для просмотра публикаций
